خرید و فروش ارز

2-1. مقدمه 13

فصل اول
565785622935آشنایی با مفاهیم اولیه فازی
00آشنایی با مفاهیم اولیه فازی

1-1. مقدمه
در زندگی روزمره، وقایع و حوادث را توسط گزاره‌هایی مانند "امروز باران می‌بارد" بیان می‌کنیم و از این گزاره‌ها در معادلات منطقی اگر- آنگاه استفاده و تصمیم‌گیری می‌کنیم. در منطق صریح و قطعی ارزش هر گزاره می‌تواند راست یا دروغ باشد که کامپیوتر آن را با صفر و یک نشان می‌دهد.
در رابطه با منطق گزاره‌ها، نظریه مجموعه‌ها نیز مطرح می‌شود. معیار عضویت عناصر در مجموعه را تابع ‌عضویت می‌نامیم که به صورت زیر بیان می‌شود.
μ: A→0,1 μAx=0 ,if x∈A1 ,if x∉Aاکثر گزاره‌هایی که در زندگی روزمره در زبان گفتاری بیان می‌کنیم ارزش‌ مبهم و نا دقیق دارند، منطق فازی به ما اجازه می‌دهد مشکل را حل کنیم.
منطق فازی در سال ۱۹۶۵ توسط دانشمند ایرانی الاصل پروفسور «‌زاده» بنا نهاده شد.
منطق فازی مبتنی بر نظریه امکان است (در حالی که علم آمار مبتنی بر نظریه احتمال است). هنگامی که می‌گوییم "احتمال" اینکه آقای x دکتر باشد ۷۰ درصد است، یعنی ۷۰ درصد آدمهایی که در وضعیت مشابه او قرار دارند دکتر بوده اند، که چنین احتمالی استخراج شده است. اما هنگامی که می‌گوییم "امکان" اینکه آقای x دکتر باشد ۷۰ درصد است (یا به بیان دیگر درجه ‌عضویت آقای x،۷۰ درصد است) یعنی، ۷۰ درصد از شواهدی که برای اثبات دکتر بودن لازم است، در آقای x یافت شده ‌است. این موضوع اصلا ًبه این معنی نیست که او دارای ۳۰ درصد از خواص دیگر دکتر بودن نیست. بلکه، اساساً اطلاعات ما درباره او دارای ابهام است. بنابراین، نظریه احتمال برای مواردی مناسب است که عدم اطمینان ناشی از خواص تصادفی حاکم بر یک پدیده است. در حالی که برخی از عدم اطمینان‌ها ریشه در طبیعت تصادفی پدیده ندارد بلکه، به دلیل ناقص بودن اطلاعات و بعضاً متناقض بودن آنهاست.
1-2. تعاریف اولیه مجموعه فازی
در این بخش تعاریفی از مجموعه‌های فازی ارائه می‌کنیم.
تعریف ۱-۱. مجموعه فازی: اگر G مجموعه مرجعی باشد که هر عضو آن را با x نمایش دهیم، مجموعه فازی A در G بوسیله زوج‌های مرتبی به صورت زیر بیان می‌شود.
A=x,μAx|x∈G μAx تابع‌ عضویت می‌باشد، که میزان تعلق x به مجموعه فازی A را نشان می‌دهد.
مثال ۱-1. فرض می‌کنیم میزان راحتی و مناسب بودن یک منزل با تعداد اتاق خواب‌های آن سنجیده شود. تعداد اتاق خواب‌های آن، یکی از اعضای مجموعه G=1,2,3,⋯,10 می‌باشد. مجموعه فازی "منازل راحت برای یک خانواده چهار نفری" به صورت زیر بیان می‌شود.
A=1,0.2,2,0.5,3,0.8,4,1,5,0.7,6,0.3تعریف ۲-۱. مجموعه فازی پشتیبان: یک مجموعه قطعی از x های متعلق به مجموعه مرجع G می‌باشد که تابع‌عضویت غیرصفر دارد.
SA=x| μAx>0 تعریف ۳-۱. مجموعه فازی نرمال: مجموعه فازی A نرمال است اگر
Sup μAx|x∈G=1 تعریف ۴-۱. مجموعه در سطح α: مجموعه در سطح α به مجموعه‌هایی از اعضای G گفته‌ می‌شود که تابع‌ عضویت آنها در مجموعه فازی A حداقل α باشد.
Aα=x∈G|μAx≥α ضمناً مجموعه Aα'=x∈G|μAx>α نیز که شبیه مجموعه فوق است، مجموعه قوی در سطح α نامیده می‌شود.
مثال 1-2. در مثال۱-۱، مجموعه فازی "منازل راحت برای یک خانواده چهار نفری" می‌توان گفت:
A0.2=1,2,3,4,5,6A0.5=2,3,4,5 A0.8=3,4 A1=4 تعریف ۵-۱. مجموعه فازی محدب: مجموعه فازی A محدب است اگر:
μAλx1+1-λx2≥minμAx1,μAx2∀x1,x2∈G,λ∈0,1 تعریف ۶-۱. عدد فازی: عدد فازی M یک مجموعه فازی نرمال و محدب در حوزه R ‌می‌باشد که:
x°∈R وجود داشته باشد که μMx°=1
تابع ‌عضویت μMx قطعه‌ای پیوسته باشد.
عدد فازی با تابع عضویت مثلثی و زنگوله ای و ذوزنقه‌ای قابل نمایش است.
عدد فازی مسطح با تابع عضویت ذوزنقه‌ای قابل نمایش می‌باشد.
مثال 1-3. مجموعه فازی زیر، عدد فازی "حدوداً 10" می‌باشد.
A=x,μAx|μAx=1+x-102-1که تابع عضویت زنگوله‌ای شکل دارد.
نکته 1-1. توجه داریم که معانی زیادی برای عبارات دارای ابهام مثل "حدوداً 10" وجود دارد. بنابراین مجموعه‌های مختلفی ممکن است برای توصیف مفهوم "حدوداً 10" به ‌کار برده ‌شود. در عملیات حساب فازی، در هر زمان تنها یک مفهوم را با توجه به نوع کاربرد، احتیاجات و الزامات به‌کار می‌بریم، بطوریکه به معیار آن کاربرد خاص نزدیک باشد. بنابراین توابع مختلفی برای نمایش اعداد فازی وجود دارند، از جمله توابع عضویت متداول می‌توان توابع مثلثی و زنگوله‌ای و ذوزنقه‌ای (شکل۱-۱) را نام برد.

شکل1-۱. انواع توابع عضویت (الف) مثلثی (ب) زنگوله‌ای (ج) ذوزنقه‌ای.
۳-۱. اپراتورهای مجموعه فازی
تابع عضویت عامل مشخص‌کننده یک مجموعه فازی می‌باشد. بنابراین برای اپراتورهای مجموعه فازی تعاریفی با استفاده از تابع عضویت مجموعه‌ها ارائه می‌کنیم. در این بخش ابتدا به تعاریف پیشنهادی پروفسور ‌زاده می‌پردازیم. سپس به تعاریف دیگری که در این رابطه عنوان شده، خواهیم ‌پرداخت. خواهیم دید که تعریف واحدی برای اپراتورهای مجموعه فازی وجود ندارد.
تعریف ۷-۱. اپراتور مینیمم: اگر C=A∩B آنگاه تابع عضویت اشتراک دو مجموعه فازی Bو Aیعنی، μCx برابر است با:
μCx=minμAx,μBx,x∈G تعریف ۸-۱. اپراتور ماکسیمم: اگر D=A∪B آنگاه تابع عضویت اجتماع دو مجموعه فازی Bو Aیعنی، μDx برابر است با:
μDx=maxμAx,μBx,x∈G تعریف ۹-۱. مجموعه فازی متمم: مجموعه فازی B متمم مجموعه فازی A است اگر:
μBx=1-μAx,x∈G بلمن و گیتز در سال ۱973 شرایطی را برای اپراتورهای فازی پیشنهاد کردند که این شرایط برای منطق گزاره‌ها بیان شده ‌است. یک مجموعه فازی A را با گزاره "عنصر x به مجموعه فازی A تعلق دارد" می‌توان جایگزین کرد. یعنی میزان راستی گزاره، درجه عضویت عنصر x در A را نشان می‌دهد که مقداری بین صفر و یک می‌باشد. اپراتورهای "و" و "یا" در منطق گزاره‌ها مشابه اپراتورهای "اشتراک" و "اجتماع" در تئوری مجموعه‌ها می‌باشند. S و T را دو گزاره در نظر می‌گیریم به طوریکه μS و μT بترتیب ارزش راستی گزاره S و T را نشان می‌دهد (μS,μT∈0,1). همچنین با در نظر گرفتن علامت ∧ برای "و" و ∨ برای "یا"، شرایط بلمن و گیتز را به صورت زیر بیان می‌کنیم.
جابجایی
μS∧μT=μT∧μSμS∨μT=μT∨μSشرکت پذیری
μS∧μT∧μU=μS∧μT∧μUμS∨μT∨μU=μS∨μT∨μUپخش پذیری
μS∧μT∨μU=μS∧μT∨μS∧μUμS∨μT∧μU=μS∨μT∧μS∨μUμS∧μT وμS∨μT باید در حوزه خود پیوسته و غیر نزولی باشند.
μS∧μS وμS∨μS باید در حوزه μS اکیداً صعودی باشند.
μS∧μT≤minμS,μTμS∨μT≥maxμS,μT 1∧1=10∨0=0بلمن و گیتز در سال ۱۹۷۳ ثابت کردند که اپراتورهای مینیمم و ماکسیمم شرایط فوق را دارا می‌باشند. در ادامه اپراتورهای جبری و تئوری مجموعه‌ها را به صورت روشن‌تر معرفی می‌نماییم.
۱-۳-۱. اپراتورهای جبری
تعریف ۱۰-۱. ضرب کارتزین: ضرب کارتزین مجموعه‌های فازی به صورت زیر تعریف می‌شود:
اگر An،⋯،A2،A1 مجموعه‌های فازی با دامنه‌های Gn،⋯،G2،G1 باشند، آنگاه ضرب کارتزین مجموعه‌های فوق در فضای G1×G2⋯×Gn برابر است با:
x=x1،x2،⋯،xn,xi∈GiμA1×A2×⋯×Anx=minμAixi 1≤i≤n تعریف ۱1-۱. جمع جبری: جمع جبری دو مجموعه فازی Bو Aرا با C=A+B نمایش می‌دهیم و داریم:
C=x,μA+Bx|x∈GμA+Bx=μAx+μBx-μAx.μBxتعریف ۱2-۱. جمع کراندار: جمع کراندار دو مجموعه فازی Bو A را با C=A⨁B نمایش می‌دهیم و داریم:
C=x,μA⨁Bx|x∈GμA⨁Bx=min1,μAx+μBx۲-۳-۱. اپراتورهای تئوری مجموعه‌ها
تاکنون اشتراک دو مجموعه فازی را توسط اپراتور مینیمم و "و" منطقی و اجتماع دو مجموعه فازی را توسط اپراتور ماکسیمم و "یا" منطقی مدل‌سازی کرده‌ایم. اما این اپراتورها تنها اپراتورهای قابل تعریف برای اشتراک و اجتماع مجموعه‌های فازی نمی‌باشند و این عدم یکتایی اپراتورها از قابلیت تطابق، کلی بودن و عدم قطعیت منطق زبانی نشأت می‌گیرد. یعنی می‌توان اپراتورهای متفاوت یا اپراتورهای دارای پارامتری تعریف کرد که در موقعیت‌های مختلف، مفهوم اشتراک و اجتماع مجموعه‌های فازی را مدل‌سازی کنند. اپراتورهای مجموعه‌های فازی را می‌توان به دو بخش تقسیم نمود، بخش اول: اپراتورهای مربوط به اجتماع و اشتراک که با نامهای نرم t و نرم s تعریف می‌شوند و بخش دوم: اپراتورهای میانگین که حد وسط دو نرم t و s را در بر می‌گیرند.
۱-۳-۲-۱. اپراتورهای نرم t پروفسور ‌زاده برای اشتراک مجموعه‌های فازی اپراتور مینیمم Bو A را پیشنهاد کرد. به چنین اپراتورهایی اپراتورهای نرم t می‌گوییم. نرم t یک تابع از 0,1×0,1 به 0,1 است که دارای خواص زیر می‌باشد:
t0,0=0;tμAx,1=t1,μAx=μAx,x∈G
یکنوایی
tμAx,μBx≤tμCx,μDx if μAx≤μCx and μBx≤μDxجابجایی tμAx,μBx=tμBx,μAxشرکت پذیری
tμAx,tμBx,μCx=ttμAx,μBx,μCxنرم t یک گروه عمومی از اپراتورها را برای اشتراک مجموعه‌های فازی معرفی می‌کند و به علت خاصیت شرکت‌پذیری می‌توان از اپراتورهای این قاعده، بر روی بیش از دو مجموعه فازی به صورت متوالی استفاده نمود.
۲-۳-۲-۱. اپراتورهای نرم s برای اجتماع مجموعه‌های فازی نیز اپراتور ماکسیمم و جمع جبری و جمع کراندار معرفی شده‌اند، که در قالب یک قاعده به نام نرم s کنار هم قرار می‌گیرند. نرم s شامل توابعی از 0,1×0,1 به 0,1 است که دارای خواص زیر می‌باشد:
s1,1=1;sμAx,0=s0,μAx=μAx,x∈Gیکنوایی
sμAx,μBx≤sμCx,μDx if μAx≤μCx and μBx≤μDxجابجایی sμAx,μBx=sμBx,μAxشرکت پذیری
sμAx,sμBx,μCx=ssμAx,μBx,μCx
1-3-2-3. اپراتورهای میانگین
برای تصمیم‌گیری‌ها و مسائلی که پارامترهای متعددی در نتیجه نهایی مؤثر است و بهینه شدن هر یک از این پارامترها با بهینه شدن دیگری در تضاد باشد، اپرتورهای میانگین پیشنهاد شد. اپراتورهای میانگین، پاسخ بهینه عمومی را بدست می‌آورند هر چند ممکن است پارامترهای مؤثر در جواب، همگی بهینه نشده باشند.
۱-۴. تصمیم بهینه
معمولاً اکسترمم تابع قطعی f، یک نقطه دقیق مثل x° بر دامنه D می‌باشد. اگر تابع fتابع هدف یک مدل تصمیم‌گیری باشد، آنگاه x° نقطه‌ای است که در آن نقطه شرایط رسیدن به بهینه فراهم می‌شود. در نظریه کلاسیک اغلب یک رابطه منحصر بفرد بین نقاط اکسترمم یک تابع هدف و تصمیم بهینه در مدل تصمیم‌گیری وجود دارد. اما در مدلهای فازی، دیگر این رابطه منحصر بفرد وجود نخواهد داشت. اکسترمم یک تابع یا یک تصمیم بهینه در یک مدل تصمیم‌گیری می‌تواند به روشهای مختلف بیان شود. در مدلهای تصمیم‌گیری «تصمیم بهینه» یک مجموعه قطعی فرض می‌شود که اعضای آن عناصر یک مجموعه فازی با بیشترین درجه عضویت در رسیدن به هدف مورد نظر می‌باشند. به این مجموعه «مجموعه حداکثر» می‌گوییم.
تعریف ۱3-۱. مجموعه حداکثر: fیک تابع با مقادیرحقیقی در G است، بطوریکه inff مقدار حد پایین f وsupf مقدار حد بالایf می‌باشد. مجموعه فازی M=x,μMx|x∈G با تابع عضویت
μMx=fx-inffsupf-inff را مجموعه حداکثر تابع f می‌نامیم.
1-۵. متغیر زبان شناختی
در زندگی روزمره،کلماتی را به کار می‌بریم که اغلب برای توصیف متغیرها استفاده می‌شوند. به عنوان مثال هنگامی که می‌گوییم "دمای هوا امروز پایین است"، از واژه "پایین" برای توصیف "دمای هوای امروز" استفاده کرده‌ایم. به این معنی که متغیر دمای هوای امروز واژه "پایین" را به عنوان مقدار خود پذیرفته است. واضح است که متغیر "دمای هوای امروز" می‌تواند مقادیری نظیر˚3،˚10-،˚8-،˚24 و... را اختیار کند. هنگامی که یک متغیر، اعداد را به عنوان مقدار بپذیرد، ما یک چهارچوب ریاضی مشخص برای فرموله‌کردن آن داریم. اما هنگامی که متغیر، واژه‌ها را به عنوان مقدار می‌گیرد، در آن صورت چهارچوب مشخص برای فرموله‌کردن آن درتئوری ریاضیات کلاسیک نداریم.
در صحبت‌های عامیانه اگر یک متغیر بتواند واژه‌هایی از زبان طبیعی را به عنوان مقدار بپذیرد، یک «متغیر زبان شناختی» نامیده می‌شود. برای فرموله‌کردن واژه‌ها در گزاره‌های ریاضی از مجموعه‌های فازی برای مشخص‌کردن واژه‌ها استفاده می‌کنیم.
تعریف ۱4-۱. متغیر زبانی: متغیر زبانی با چنین ساختاری مشخص می‌شود. x اسم متغیر است. Tx مجموعه نامهای مقادیر زبانی x است که هر عضو آن یک متغیر فازی X می‌باشد. X بر مجموعه مرجع G تعریف می‌شود. Mمجموعه فازی است که معنی و مفهوم متغیر زبانی X را بیان می‌کند.
مثال 1-4. اگر xمتغیرزبانی با نشان "سن" و مجموعه مرجع G=0,100باشد، مجموعه نامهای زبانی این متغیر زبانی مجموعه‌های فازی مانند "جوان" ، "پیر" ،"خیلی پیر" و... نامیده می‌شوند. G، سن اشخاص به ‌صورت عددی و تعداد سالهای زندگیشان می‌باشد. Mx مفهوم مجموعه نامهای زبانی را به صورت مجموعه‌های فازی بیان می‌کند. Tx مجموعه نامهای مقادیر زبانی x است. برای متغیر فازی "پیر" داریم [۲۲]:
Mپیر=u,μپیرu|u∈0,100به صورتی که:
μپیرu=0 u∈0,50 1+u-505-2-1 u∈50,100Tسن=پیر خیلی , پیر ,میانسال,جوان , جوان خیلی
فصل دوم
565785622935آشنایی با مدلهای برنامه‌ریزی‌آرمانی
00آشنایی با مدلهای برنامه‌ریزی‌آرمانی

2-1. مقدمه
برنامه‌ریزی‌آرمانیبه عنوان یکی از مؤثرترین روش‌های مدل‌بندی و حل مسائل چند هدفی در چند دهه گذشته مورد توجه خاصی قرارگرفته ‌است. برنامه‌ریزی‌ آرمانی اولین بار توسط چارنز و کوپر [۵] به صورت تکنیکی برای حل مسائل تصمیم‌گیری چند هدفه به کارگرفته‌ شد. با کار چند تن از جمله اگنزیو [۱0] در سال ۱۹۷۶ معروف شد. برنامه‌ریزی ‌آرمانی بدین صورت از برنامه‌ریزی‌ خطی متمایز می‌شود:
تعیین سطح انتظار برای هر هدف.
مشخص‌کردن اولویت‌ها و/ یا وزن‌هایی برای رسیدن به آرمانها
نمایش متغییرهای انحراف ni و pi برای اندازه‌گیری بالا بودن یا پایین بودن از سطح انتظار fi*.
از آنجایی که بحث این پایان ‌نامه ارتباط نزدیکی با برنامه‌ریزی‌آرمانی دارد، روش‌های برنامه‌ریزی‌آرمانی را بطور مفصل مورد بررسی قرار می‌دهیم.
۲-۲. تعاریف
ابتدا تعاریف مربوط به مسئله برنامه‌ریزی چندهدفه را بیان می‌کنیم.
تعریف2-1. مدل تصمیم‌گیری چندهدفه:
opt :f1x,f2x,…,fkx=Fx s.t. xϵG "opt" به معنای max یا min است. x=x1,x2,…,xn بردار تصمیم است. i=1,2,…,k,fix اهدافی هستند که قصد داریم، بهینه نماییم.G⊂Rn سیستم محدودیت‌هاست.
تعاریف را با فرض مینیمم‌سازی اهداف بیان می‌کنیم.
تعریف2-۲. هدف: عبارتی ریاضی است که مطلوبیت‌ها، نظرات و ایده‌های تصمیم‌گیرنده را در مسئله مورد نظر منعکس می‌کند. بطور مثال، حداکثرکردن سود، حداقل کردن هزینه و مانند آن هدف می‌باشند که محدوده دستیابی به این اهداف توسط محدودیت‌ها تعیین می‌شود.
تعریف3-۲. تصمیم‌گیرنده: شخص، گروهی از اشخاص یا سازمان‌هایی که وظیفه تصمیم‌گیری را به عهده دارند.
تعریف4-۲. متغیر تصمیم: آنچه که تصمیم‌گیرنده در صدد تصمیم‌گیری و تعیین حد بهینه برای آن است. به عبارت دیگر متغیرهای تصمیم، متغیرهای مستقلی هستند که مقدارشان نامشخص بوده و تصمیم‌گیرنده آنها را بعد از حل مدل و با توجه به معیارها و محدودیت‌ها بدست می‌آورد.
تعریف2-5. جواب ایده‌آل: جوابی که موجب بهینه شدن هریک از توابع‌هدف بطور همزمان می‌شود. به عبارت دیگر،x*∈G جواب ایده‌آل برای مسئله چند‌هدفه است اگر و تنها اگر به ‌ازای همه x∈G، Fx*≤Fx باشد.
البته جواب ایده‌ال در اکثر مواقع برای مسئله چند‌هدفه به علت تعارض بین اهداف وجود ندارد. بنابراین لازم است این تعریف را تعدیل نماییم.
تعریف2-6. جواب بهینه پارتو: نقطه x*∈G جواب بهینه پارتو است اگر و تنها اگر نقطه‌ی دیگری مانندx∈G موجود نباشد بطوریکه fix≤fix* برای همه‌ی iها ( i=1,…,k) و با نامساوی اکید حداقل برای یک i.
تعریف2-7. جواب بهینه پارتوضعیف: نقطه x*∈G جواب بهینه پارتوضعیف است اگر و تنها اگر نقطه‌ی دیگری مانندx∈G موجود نباشد بطوریکه fix<fix* برای همه‌ی i ها ( i=1,…,k) .
مجموعه جواب بهینه ‌پارتو زیرمجموعه بهینه ‌پارتوضعیف است. به طور مثال:
min:x1 min:x2 s.t. 0≤xi≤1 ناحیه شدنی برای این مسئله بصورت شکل 2-1 می‌باشد.

شکل 2-1. ناحیه شدنی S.
کلیه نقاط مرزی واقع در سمت چپ ناحیه شدنی S جواب بهینه پاراتو ضعیف هستند، از جمله نقاط 1,0,0,1 و 0,0. اما نقطه 0,0 جواب بهینه پاراتو نیز می‌باشد.
وجود جوابهای بهینه پارتو به تعداد نامتناهی در گاهی مواقع و معیارهای دیگر DM ، موجب می‌شود تعریف دیگری را ارائه دهیم.
تعریف2-8. جواب ارجح: جوابی که توسط DM از بین جوابهای پارتو انتخاب می‌شود.
تعریف2-9. جواب مطلوب: جوابی از زیرمجموعه جوابهای شدنی که ممکن است از جوابهای پارتو نباشد اما بسادگی با فرایند تصمیم‌گیری DM که بر اساس اطلاعات محدود و نادقیق اوست مطابقت دارد.
حال تعاریف مربوط به برنامه‌ریزی‌آرمانی را ارائه می‌کنیم.
تعریف10-۲. سطح انتظاریا مقدار آرمان: یک مقدار عددی خاص همراه با یک سطح مطلوب یا قابل قبول برای هر هدف می‌باشد.
تعریف11-۲. آرمان: هدف مرتبط با یک سطح انتظار را آرمان می‌نامیم. مانند: ״کسب سودی حداقل هفته‌ای x دلار״ . به این ترتیب، حداکثر کردن سود یک هدف است اما کسب سودی معادل 100 دلار یک آرمان می‌باشد که سطح انتظار تصمیم گیرنده را برای بدست آوردن سود مشخص بیان می‌کند.
تعریف12-۲. انحراف از آرمان: دستیابی به سطح انتظار تعیین شده در یک هدف وابسته به محدودیت‌های مسئله می‌باشد که در عمل ممکن است تصمیم گیرنده به سطح انتظار تعیین شده دست نیابد. بنابراین در بسیاری از موارد بین خواسته‌های تصمیم گیرنده و آنچه که در عمل بدست می‌آید اختلاف وجود دارد، این میزان اختلاف در مدل برنامه‌ریزی آرمانی توسط متغیری به نام متغیر انحراف از آرمان، اندازه گیری می‌شود.
۳-۲. مزایا و معایب روش برنامه‌ریزی‌آرمانی
نمایش آرمانها بصورت قیود در GP مزایا و معایبی دارد .
مزایا
اجازه کارکردن با چندین هدف را می‌دهد.
در مدل‌بندی قیود نرم کمک می‌کند.
معایب
مقادیر آرمان توسطDM تعیین می‌شود.
اغلب باید وزنهایی به مدل اضافه شود.
معمولاً، نقطه‌ای که همه‌ی آرمانها را ایفا کند، شدنی نیست. بنابراین تلاش ما بر این است که نقطه شدنی را بیابیم که تا آنجایی که ممکن است به سطح انتظار آرمانها نزدیک باشد. راهی که چنین نقاطی را با استفاده از اولویت‌بندی و/ یا ساختار وزن‌دهی می‌یابد برنامه‌ریزی آرمانی می‌نامیم.
۲-۴. مدلهای روش برنامه‌ریزی‌آرمانی
مسئله برنامه ریزی چند‌هدفه ممکن است سه نوع معیار برای آرمان داشته باشد که در (شکلهای2-۲، 3-۲ و 4-۳) نشان داده ‌شده است.
بزرگتر یا مساوی
کوچکتر یا مساوی
مساوی
آنچه DM آرزو دارد این است که مقدار هدف (الف) بزرگتر یا مساوی، (ب) کوچکتر یا مساوی، (ج) در همسایگی سطح انتظار fi* قرار بگیرد.

شکل 2-۲. آرمان بصورت مقدار هدف بزرگتر یا مساوی سطح انتظارfi* می‌باشد.

شکل 3-۲. آرمان بصورت مقدار هدف کوچکتر یا مساوی سطح انتظارfi* می‌باشد.

شکل 4-۲. آرمان بصورت مقدار هدف در همسایگی سطح انتظارfi* می‌باشد.
در واقع، شکل2-۲، تأکید بر نامطلوب بودن دستیابی به مقادیری کمتر از مقدار آرمان fi* و بی‌تفاوتی نسبت به کسب مقادیری بیشتر از آرمان تعیین شده را نشان می‌دهد. شکل3-۲ تأکید بر نامطلوب بودن دستیابی به مقادیری بیش از مقدار آرمان fi* و بی تفاوتی نسبت به کسب مقادیری کمتر از آرمان تعیین شده را نشان می‌دهد. در نهایت شکل4-۲ بیانگر نامطلوب بودن دستیابی به مقادیری بیش از آرمان تعیین شده و یا کمتر ازآن می‌باشد.
مسئله برنامه‌ریزی‌آرمانی با هر سه نوع معیار آرمان بصورت زیر بیان می‌شود.
الف goalf1x=f1 ,f1≥f1*ب goalf2x=f2 ,f2≤f2*ج goalf3x=f3 ,f3=f3*x∈G سه مدل پایه با توجه به تابع دستیابی برای حل مسئله برنامه‌ریزی‌آرمانی وجود دارد:
مدل ارشمیدسی
مدل الفبایی
مدل مینیمم- ماکسیمم
۱-۴-۲. مدل ارشمیدسی
مدل ارشمیدسی یک مدل وزنی است که مجموع وزنی انحراف نامطلوب از آرمان را مینیمم می‌کند. با فرض این که تعداد آرمان‌ها k باشد، مسئله برنامه‌ریزی‌آرمانی را بدین صورت مدل‌بندی می‌کند:
mins=1kusns+wsps s.t. f1x+n1-p1=f1* ⋮ fkx+nk-pk=fk* x∈G nj∙pj=0 ,nj,pj≥0,j=1,⋯,kلازم به ذکر است اگرآرمان تصمیم‌گیرنده بصورت fsx≤fs* باشد آنگاه us=0 همچنین اگر آرمان تصمیم‌گیرنده بصورت fsx≥fs* باشد آنگاه ws=0.
نکاتی در مورد مدل ارشمیدسی:
ws , us ها وزنهای پنالتی مثبت هستند.
تابع هدف مدل ارشمیدسی مجموع وزنی متغیرهای انحراف نامطلوب است.
GP ارشمیدسی با استفاده از نرم افزارهای مرسوم قابل حل است.
GPارشمیدسی نوعی بهینه‌سازی در مترL1 می‌باشد که ws , us ها در آن به ما این اجازه را می‌دهند که انحرافات نامطلوب از آرمان را با شدت‌های مختلف جریمه کنیم.
مثال۱-۲. مسئله‌ای با دو آرمان و سیستم قیود به صورت‌های زیر داریم .
goal20x1+17x2+15x3+12x4+10x5=f1 ,f1*=800goal2x2+3x4=f2 ,f2*=80 و سیستم قیود
x1+x2≥20,x3+x4≥20,x5≥202x1+3x2+2x5≤100 xi≥0,i=1,⋯,5 همچنین تصمیم‌گیرنده وزن‌های متناظر با متغیرهای انحراف توابع هدف را بصورت زیر در نظر گرفته ‌است.
u1=0.4w1=0.15 u2=0.15w2=0.3بنابراین برنامه‌ریزی‌آرمانی متناظر مسئله چنین است.
min 0.4n1+0.15p1+0.15n2+0.3p2 s.t. 20x1+17x2+15x3+12x4+10x5+n1-p1=8002x2+3x4+n2-p2=80 x1+x2≥20,x3+x4≥20,x5≥20 2x1+3x2+2x5≤100 xi≥0,i=1,⋯,5 nj∙pj=0 ,nj,pj≥0,j=1,2 نهایتاً از حل مدل به روش سیمپلکس برنامه‌ریزی خطی نتایج زیر حاصل می‌شود.
x*=0,20,6.67,13.3,20,n1*=n2*=p1*=p2*=0صفر شدن j=1,2 , nj*و pj* نشان می‌دهد هر دو آرمان کاملاً ایفا شده‌اند.
۲-۴-۲. مدل الفبایی
در این روش آرمانهای متفاوت با توجه به اهمیتی که برای تصمیم‌گیرنده دارند به سطوح مختلف دسته‌بندی می‌شوند. آرمانهایی که بالاترین سطح اولویت را دارند بسیار مهم‌تر از آرمانهایی هستند که پایین‌ترین سطح اولویت را دارا می‌باشند. بنابراین برآوردن آرمانهای اولین سطح اولویت قبل از در نظرگرفتن آرمانهای دومین سطح اولویت، از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است و الی آخر. این روش مسئله برنامه‌ریزی چند هدفه را به دنباله‌ای از مسائل برنامه‌ریزی ‌آرمانی تبدیل می‌کند.
با فرض این که تصمیم‌گیرنده آرمانها را به l سطح اولویت‌بندی ‌کند، مدل برنامه‌ریزی ‌آرمانی الفبایی بصورت زیر است.
Lex min α=h1n,p,⋯,hln,p s.t. f1x+n1-p1=f1* ⋮ fkx+nk-pk=fk* x∈G nj∙pj=0 ,nj,pj≥0,j=1,⋯,khin,p تابعی بر حسب متغیرهای انحراف از آرمانهای سطح اولویت i ام می‌باشد. hin,p می تواند خطی یا غیرخطی باشد. برای حل این مدل در مرحله اول آرمان‌های اولین سطح اولویت و قیود مربوطه را بصورت یک مسئله برنامه‌ریزی‌آرمانی فرمول‌بندی و حل می‌کنیم. اگر مسئله جواب بهینه چندگانه داشت، در مرحله دوم مسئله برنامه‌ریزی‌آرمانی دیگری با آرمانهای دومین سطح اولویت و قیود مربوطه به انضمام مقادیر متغیرهای انحرافی که از مرحله قبل بدست آمده‌اند، تشکیل می‌دهیم. در این حالت، هدف کمینه کردن متغیرهای انحرافی آرمانهای دومین سطح اولویت است. همین فرایند را برای سطوح پایین‌تر ادامه می‌دهیم. اگر در مرحله‌ای جواب بهینه منحصربفردی حاصل شود، فرایند خاتمه می‌یابد وآرمانهای با سطح اولویت پایین‌تر بی‌معنی می‌شوند وآرمان زائد تلقی می‌شوند (که این از معایب روش الفبایی به شمار می‌رود). درغیر اینصورت، این روند را تا آخرین سطح اولویت ادامه می‌دهیم و جوابهای بهین آخرین سطح اولویت را به عنوان جواب بهین مسئله معرفی می‌کنیم. اگر li به آرمانهای موجود در سطحi ام اشاره کند، الگوریتم روش به قرار زیر است.
الگوریتم 2-1:
گام۱. فرض کنیدS سطح اولویت مورد بررسی باشد. S=1 قرار می‌دهیم.
گام۲. مدل مربوط به سطح اولویت S ام را به صورت زیر فرمول‌بندی می‌کنیم.
min αs=hsn,p s.t. fνx+nυ-pυ=fν*,υ∈l1,⋯,ls hηn,p=αη*,η=1,⋯,s-1 x∈G nj∙pj=0 ,nj,pj≥0,j=1,⋯,k گام ۳. مسئله تک هدفی گام ۲ را حل می‌کنیم. جواب بهین آن را αs* می‌نامیم.
گام ۴. s=s+1 قرار می‌دهیم. اگر s>l به گام ۵ می‌رویم در غیر اینصورت به گام۲ می‌رویم.
گام۵. جواب بهینx* مربوط به آخرین مدل تک هدفی گام ۲، جواب بهین برای مسئله اصلی می‌باشد، و الگوریتم پایان می‌یابد.
مثال ۲-۲. برای توضیح روش الفبایی، مسئله برنامه‌ریزی‌آرمانی مثال۱-۲ را با سطوح آرمانی زیر در نظر می‌گیریم.
سطح اولویت اول:f1*=800
سطح اولویت دوم:f2*=80
همچنین آرمانهای تصمیم‌گیرنده f2≤80,f1=800 در نظر گرفته ‌شده ‌است. در این صورت مدل برنامه‌ریزی ‌آرمانی الفبایی متناظر به‌ فرم زیر است.
lex min α=n1+p1,p2 s.t. 20x1+17x2+15x3+12x4+10x5+n1-p1=8002x2+3x4++n2-p2=80 x1+x2≥20,x3+x4≥20,x5≥202x1+3x2+2x5≤100 xi≥0,i=1,⋯,5 nj∙pj=0,nj,pj≥0,j=1,2 مسئله تک هدفه متناظر با اولین سطح اولویت به فرم زیر می‌باشد.
min α1=n1+p1 s.t. 20x1+17x2+15x3+12x4+10x5+n1-p1=800 x1+x2≥20,x3+x4≥20,x5≥202x1+3x2+2x5≤100 xi≥0,i=1,⋯,5 n1∙p1=0,n1,p1≥0 مدل فوق دارای جواب بهین دگرین است. یکی از جوابهای بهین مدل اولین سطح اولویت بصورت زیر است.
x*=6.67,13.3,0,20,20,n1*=p1*=α1*=0مسئله تک هدفه متناظر با دومین سطح اولویت به فرم زیر است.
min α2=p2 s.t. 20x1+17x2+15x3+12x4+10x5+n1-p1=800 2x2+3x4+n2-p2=80 x1+x2≥20,x3+x4≥20,x5≥202x1+3x2+2x5≤100 n1+p1=0 xi≥0,i=1,⋯,5 nj∙pj=0 ,nj,pj≥0,j=1,2 جواب بهین مسئله فوق به صورت زیر می‌باشد.
x*=0,20,6.6667,13.3333,20,n1*=p1*=p2*=α2*=0که جواب بهین مدل برنامه‌ریزی ‌آرمانی الفبایی مورد نظر است.
۳-۴-۲. مدل مینیمم-ماکسیمم
در این روش بیشینه مجموع وزنی انحراف از هر یک از آرمانها، کمینه می‌شود.
min α s.t. usns+wsps≤α,s=1,⋯,kf1x+n1-p1=f1* ⋮ fkx+nk-pk=fk* x∈G nj∙pj=0 ,nj,pj≥0,j=1,⋯,kمتغیر α∈R بیشینه مجموع وزنی انحراف از آرمانها را نشان می‌دهد. us و ws به ترتیب وزن‌هایی هستند که تصمیم‌گیرنده برای متغیرهای انحراف مثبت و منفی آرمان تعیین کرده ‌است. لازم به ذکر است، اگرآرمان تصمیم‌گیرنده بصورت fsx≤fs* باشد آنگاه us=0 همچنین اگر آرمان تصمیم‌گیرنده بصورت fsx≥fs* باشد آنگاه ws=0.
مثال ۳-۲. مسئله‌ای که در مثال۱-۲ عنوان شد را با استفاده از روش Min –Max حل می‌کنیم.
min α s.t. 0.4n1+0.15p1≤α 0.15n2+0.3p2≤α 20x1+17x2+15x3+12x4+10x5+n1-p1=8002x2+3x4+n2-p2=80 x1+x2≥20,x3+x4≥20,x5≥20 2x1+3x2+2x5≤100 xi≥0,i=1,⋯,5 ni∙pi=0 ,ni,pi≥0,i=1,2 نهایتا ًاز حل مدل به روش سیمپلکس نتایج زیر حاصل می‌شود.
x*=0,20,6.67,13.3,20,n1*=n2*=p1*=p2*=0α*=0صفر شدن α* نشان می‌دهد که تمام آرمانها کاملاً ایفا شده‌اند [۱].
فصل سوم
565785622935آشنایی با مدلهای برنامه‌ریزی‌آرمانی فازی
00آشنایی با مدلهای برنامه‌ریزی‌آرمانی فازی

۱-۳. مقدمه
در موقعیت تصمیم‌گیری واقعی، اکثراً با مسائل تصمیم‌گیری چند‌ معیاری (مشخصه‌ها یا اهداف) مواجه هستیم. مسائل تصمیم‌گیری چند هدفه (MODM) شاخه مهمی از مسائل تصمیم‌گیری چند ‌معیاری ‌است. در طی سه دهه گذشته، روشهای متفاوتی برای حل مسائل MODM به کار گرفته شده ‌است. از آنجایی که در دنیای واقعی بعضی از اهداف، طبیعت نادقیقی دارند یا بهینگی یکی با بهینگی دیگری مخالفت می‌کند، معمولاً جوابی که همزمان همه اهداف را بهینه کند، موجود نیست. بنابراین در حل MODM غالباً به دنبال جوابهای بهینه توافقی هستیم. از این میان برنامه‌ریزی آرمانی روش مناسبی برای حل چنین مسائلی است. در برنامه‌ریزی آرمانی تعیین دقیق مقادیر آرمان الزامی است، اما تصمیم‌گیرنده همیشه اطلاعات کامل و دقیقی از مقادیر آرمان و اهمیت هر یک ندارد.
در چنین موقعیتی اغلب تصمیم‌گیری‌ها بر پایه اطلاعات و داده‌های نادقیق صورت می‌گیرد. در سال 1970، بلمن و زاده با معرفی نظریه ‌مجموعه ‌فازی، نادقیقی را به مسائل تصمیم‌گیری سنتی وارد کردند. مطابق با نظریه مجموعه فازی، اهداف و قیود نادقیق، اهداف و قیود فازی نامیده می‌شوند، که با تابع‌ عضویت متناظرشان قابل نمایش هستند. تاناکا و همکارانش [17] در سال 1974 برای نخستین بار مفهوم برنامه‌ریزی‌ ریاضی ‌فازی را پیشنهاد کردند. همچنین زیمرمن [21] در سال 1978 برنامه‌ریزی ‌خطی ‌فازی چند هدفه را مدل‌بندی کرد. در این میان تعیین تابع‌ عضویت مناسب با شرایط مسئله نیز حائز اهمیت است. علاوه بر این، جواب مسئله برنامه‌ریزی‌ چند هدفه به نظر DM بستگی دارد. بطوریکه، او می‌تواند اولویت‌های خود در مورد توابع‌ هدف را با اهمیت نسبی، اولویت‌بندی و تابع مطلوبیت بیان کند. فرم خاصی از مدل تابع مطلوبیت که از استراتژی‌های قدیمی در MODM می‌باشد، استفاده از اوزان (ضرایب اهداف) به منظور انعکاس اهمیت هر تابع هدف نسبت به دیگر اهداف است، که مبتنی بر نرمp- (∞ ≥ p ≥1) [۱9] می‌باشد. تیواری و همکارانش تصمیم‌گیرنده را مجاز به انتخاب وزن‌های مختلفی به عنوان ضرایب اهداف در یک مدل جمعی دانستند. البته روشهای وزن‌دهی min-max دیگری در نرم-∞ [۱۳] و [20] وجود دارد.
DM اطلاعات مبهم و نادقیقی از اهداف و قیود دارد، بنابراین تعیین وزن برای او مشکل است. در نتیجه ناراسیمهان در سال1980 برای تعیین اهمیت فازی اهداف، از شرایط زبانی مانند "خیلی مهم" و "مهم" استفاده کرد. چن و تسایی در سال 2001 برای متمایز نمودن اهمیت نسبی اهداف، برای هر هدف درجه مطلوبیت دستیابی تعیین نمودند. درجه مطلوبیت دستیابی بالاتر به معنی اولویت بالاتر آن هدف است. آنها رابطه نامساوی تابع عضویت و درجه مطلوبیت ‌دستیابی هر تابع هدف را بصورت قیدی به مدل اضافه کردند. اُکوز و پترویک در سال ۲۰۰۷ سه نوع رابطه فازی باینری برای اهمیت نسبی اهداف با شرایط زبانی مختلفی مانند "کمی مهم‌تر از"، "نسبتاً مهم‌تر از" و "بطور معنی‌داری مهم‌تر از" تعریف کردند. بنابراین مقایسه درجه دستیابی اهداف بصورت قیود سخت، با رتبه‌بندی نادقیق آرمانهای‌ فازی جایگزین شد.
از آنجایی که هر یک از مدل‌های موجود سعی در برطرف کردن معایب مدل‌های قبلی نموده‌اند، بیان مدل جدید بدون شناخت مدل‌های قبلی ما را با ابهام روبرو می‌کند. بنابراین در این فصل مدل‌های برنامه‌ریزی آرمانی فازی را بیان می‌کنیم که تا کنون برای مسائل تصمیم‌گیری چند هدفه با قیود وآرمانهای نادقیق و با اولویت‌های مختلف مطرح شده‌اند. همچنین معایب و محاسن هر یک را بررسی می‌نماییم.
3-2. تفاوت برنامه‌ریزی آرمانی با برنامه‌ریزی آرمانی فازی
در برنامه‌ریزی‌ آرمانی تصمیم‌گیرنده مقادیر انتظار دقیقی برای هر هدف تعیین می‌کند. سپس انحراف از مقادیر انتظار را جریمه می‌کند. اما در برنامه‌ریزی آرمانی فازی، آرمانها را به صورت مجموعه‌های فازی در نظر می‌گیریم که تابع عضویت، درجه مطلوبیت رسیدن به مقادیر انتظار را فراهم می‌آورند. این نوع تابع‌ها نقش تابع پنالتی در کلاس برنامه‌ریزی ‌آرمانی را بازی می‌کند. در واقع می‌توان گفت مقادیر انتظار، اعداد فازی هستند. درخیلی ازکاربردها تابع‌ عضویت خطی استفاده می‌‌شود. بنابراین تفاوت عمده GP و FGPدر این است که در برنامه‌ریزی‌آرمانی تصمیم‌گیرنده باید مجموعه‌ای از مقادیر انتظار برای هر هدف تعیین کند، در حالی که در برنامه‌ریزی ‌آرمانی فازی مقادیر انتظار به روش نادقیقی تعیین می‌شود.
از نتایج مستقیم نادقیقی آرمان این است که برخلاف مدل برنامه‌ریزی آرمانی که تنها یک جواب بهینه دارد، برنامه‌ریزی ‌آرمانی فازی چندین جواب بهینه دارد که درجات ‌عضویت آنها در مجموعه تصمیم متفاوت است.
3-۳. تعاریف
برای بررسی مدلهای FGP لازم است بعضی از تعاریفی که در برنامه‌ریزی آرمانی استفاده کرده‌ایم را توسعه دهیم.
تعریف3-1. مدل تصمیم‌گیری چندهدفه فازی: درمحیط‌فازی، مطابق با آنچه که بلمن و زاده در سال 1970بیان کردند، تصمیم فازی معمولاً بصورت زیر تعریف می‌شود [۴].
Find 😡 آنکه بشرط fix≤=≥fi*,i=1,…,k s.t. x∈G x بردار ستونی n×1 از متغیرهای تصمیم می‌باشد. fi*مقدار آرمان تابع‌ هدف‌ fix است و ≥,=,≤ روابط فازی می‌باشند. برای DMسه نوع رابطه فازی تعریف‌ می‌کنیم که بترتیب، به معنی iامین تابع ‌هدف، تقریباً کوچکتر یا مساوی، تقریباً مساوی و تقریباً بزرگتر یا مساوی fi* می‌باشد. همچنین G سیستم قیود خطی می‌باشد.
تعریف3-2. تابع عضویت: لازم است، تابع عضویت‌هایی برای سه نوع رابطه فازی تعریف ‌کنیم. فاصله اختیاری fi*,fimax را برای تابع هدف فازی fix با رابطه فازی"≤ " در نظر گرفته‌ایم. fimax کران بالای fix است، که در شکل3-1 نشان داده شده ‌است.
بنابراین تابع ‌عضویت زیر را برای رابطه فازی "≤ " بدین صورت تعریف می‌کنیم.
μfix=1 ,fix≤fi* 1-fix-fi*fimax-fi* ,fi*≤ fix≤fimax 0 ,fix≥fimax ۱-۳
شکل 3-1. تابع‌عضویت μfix برای رابطه فازی"≤ ".
فاصله اختیاری fimin,fi* را برای تابع هدف فازی fix با رابطه فازی"≥ " در نظر گرفته‌ایم. همچنینfimin کران پاینی برای fix است، که در شکل3-2 نشان داده شده ‌است.
بنابراین تابع ‌عضویت زیر را برای رابطه فازی "≥ " بدین صورت تعریف می‌کنیم.
μfix=1 ,fix≥fi* 1-fi*-fixfi*-fimin ,fimin≤ fix≤ fi*0 ,fix≤fimin ۲-۳
شکل 3-2. تابع‌عضویت μfix برای رابطه فازی"≥ ".
fimin,fimax فاصله اختیاری برای رابطه فازی "= " است که در شکل3-3 نشان داده شده ‌است. تابع‌ عضویت آن را بصورت زیر بیان می‌کنیم.
μfix=0 ,fix≥fimax 1-fix-fi*fimax-fi* ,fi*≤fix≤fimax1 ,fix=fi* 1-fi*-fixfi*-fimin ,fimin≤fix≤fi*0 ,otherwise ۳-۳
شکل 3-۳. تابع‌عضویت μfix برای رابطه فازی"= ".
تعریف3-3. جدول نتایج جوابهای ایده‌آل: در MODM ممکن است فاصله اختیاری هدف روشن نباشد، بنابراین از جدول نتایج برای ساختن چنین فاصله‌ای استفاده می‌کنیم. به طور مثال، کران بالای هر هدف fjx را با رابطه فازی "≤" از این طریق می‌یابیم:
برای هر هدف با رابطه فازی "≤" تحت سیستم قیود داریم:
fixi*=min fix i=1,2,⋯,ks.t. xϵG به اضافه این که:
fij=fjxi* i,j=1,2,⋯,k xi*جواب ایده‌آل هدف fix و fij مقدار هدف j به ازای جواب ایده‌آل هدف i می‌باشد. سپس جدول نتایج بصورت (جدول ۳-1) را داریم.
جدول 3-1. جدول نتایج جوابهای ایده‌آل.
fk⋯f3f2f1fkx1*⋱f3x1*f2x1*f1x1*minf1xfkx2*f3x2*f2x2*f1x2*minf2xfkx3*f3x3*f2x3*f1x3*minf3x⋮⋮⋮⋮⋮fkxk*⋯f3xk*f2xk*f1xk*minfkxfjmax=max fij ,j=1,⋯,k i=1,⋯,k تعریف3-4. آرمان فازی: آرمانی با سطح انتظار نادقیق می‌باشد. مانند: "رسیدن به سود هفته‌ای حدوداً 640 دلار". واژه حدوداً مفهوم فازی آرمان را می‌رساند.
ساکاوا و همکارانش [16] تعریفی برای جواب مسئله تصمیم‌گیری چند‌ هدفه ‌فازی با استفاده از توابع ‌عضویت آرمانها ارائه دادند، که همان توسعه مفهوم جواب بهینه پارتو در مسائل برنامه‌ریزی ‌چند هدفه است.
تعریف3-5. جواب بهینه –Mپارتو: نقطه x*∈G جواب بهینه M- پارتو است اگر و تنها اگر نقطه‌ی دیگری مانند x∈G موجود نباشد بطوریکه μfix≥μfix* برای همه‌ی iها ( i=1,…,k) و با نامساوی اکید حداقل برای یک i.
تعریف3-6. جواب بهینه M-پارتوضعیف: نقطه x*∈G جواب بهینه M- پارتو ضعیف است اگر و تنها اگر نقطه‌ی دیگری مانند x∈G موجود نباشد بطوریکه μfix>μfix* برای همه‌ی i ها ( i=1,…,k) [10].
۴-۳. مدلهای برنامه‌ریزی آرمانی فازی
۱-۴-۳. مدل ناراسیمهان
برای گنجاندن نادقیقی در برنامه‌ریزی‌ آرمانی، ناراسیمهان برای اولین بار با الهام از روش حل زیمرمن در برنامه‌ریزی‌ خطی فازی و با استفاده از توابع ‌عضویت، مدل برنامه‌ریزی ‌آرمانی فازی را بر مبنای مفاهیم مجموعه تصمیم فازی پیشنهاد کرد. او یک مدل FGP با آرمانهای فازی و تنها با رابطه تساوی فازی در نظر گرفت. در واقع همه آرمانهای فازی را با تابع‌ عضویت خطی، مثلثی متقارن (شکل۴-۳) مشخص کرد. او مسئله برنامه‌ریزی‌ آرمانی فازی را بصورت تعیین تصمیم بهینه D در نظر گرفت، به طوریکه: